宇宙際タイヒミューラー理論の論文を解読しよう（４）

前回，星先生による，「絶対ガロア群による数体の復元」を見ていて，ノイキルヒ・内田の定理による，絶対ガロア群からのもとの数体の復元は，具体的に元の数体を再構成できるほど強い復元ではない（復元には、レベルがある）といった内容を書きました．この続きですが，望月先生は，この復元のレベルの違いを，「双遠アーベル的復元」と「単遠アーベル的復元という言葉で説明しました．

を数体とし，をそれぞれの代数閉包で， をそれぞれの絶対ガロア群であるとする．

双遠アーベル的復元とは，以下の二つのいずれかを示すことである:

1.

2. 全単射が存在する．

一方で，単遠アーベル的復元とは，

3. を入力すると，を出力するような，関手的な群論的アルゴリズムを具体的に構成する

ことである．

が成り立ち，３の復元が最も強いということになります．また，ノイキルヒ・内田の定理は，２の双遠アーベル的復元の例になっています．しかし，この定理は，数体に関しては，単遠アーベル的復元は与えていないそうです．この資料タイトル「絶対ガロア群による数体の復元」の「復元」は，「単遠アーベル的復元」を指しており，双的復元しか達成していなかったノイキルヒ・内田の定理の強化版を伝えるものになっているようです．

以上が§１の大まかな内容です．§２では，局所的な単遠アーベル的復元を解説しているようです．局所的な復元操作を「束ねる」等して，大域的な復元操作を実現するということかなぁと思っています．（まだ見てませんが．）