ABCyosouのブログ

宇宙際タイヒミューラー理論の解読にチャレンジします

宇宙際タイヒミューラー理論の論文を解読しよう（５）

前回，星先生の，「絶対ガロア群による数体の復元」を見ていました．§２以降は，復元アルゴリズムについて書いていますが，かなり技術的詳細に踏み込むため，後回しにして，先に，「宇宙際」の部分について見てみることにしましょう．（繰り返しますが，このブログは解説ではなくて，ただの自分の勉強記録なので，間違いがたくさんあると思います！）

加藤先生によるIUTの解説では，宇宙と宇宙の間で，「対称性通信」を行うと説明されていました．この対称性通信について現時点では直接的に勉強するのは難しいので，まずは「簡単版」で雰囲気だけ見てみることにしましょう．

 

まずはガロア理論に関する例で，望月先生の「数論的Teichmuller理論」に挙げられていたものです．相異なる素数 p,lについて，位数 p,lの有限体 \mathbb{F}_p, \mathbb{F}_lは，位数が異なるので，明らかに同型ではありません．この２つの体の間には，「標数の違い」というかなり大きな壁があるのです．しかし，対称性に注目するとどうでしょう．

G_{\mathbb{F}_p} \ni \mathrm{Frob}_p \mapsto \mathrm{Frob}_l \in G_{\mathbb{F}_l}

という，両辺の（位相的）生成元を対応させることによる絶対ガロア群の同型があるのです．（有限体 \mathbb{F}_pの絶対ガロア群 G_{\mathbb{F}_p}は，その代数閉包の間の p乗写像 \mathrm{Frob}_pで生成される無限巡回群の閉包でした．）標数の異なる有限体という実体のある数学的対象では，関係を見出すことは難しかったものの，それらの「対称性」という実体の無さそうなものに注目することで，関係を見出すことができたということです．IUTの論文の中で，宇宙の壁を越えるものとして登場するのは，「フロベニオイド」というものらしいので，この \mathrm{Frob}に似たものなのかもしれませんね．

 

また，星先生の「宇宙際Teichmuller理論入門」の4章に，「宇宙際Teichmuller理論の主定理の雰囲気」というものが載っていますが，これは，通信を利用して，ABC予想のような数値的な結論を導くにはどうすればいいかということの雰囲気を説明しているものと思います．数値的な結果が出せるための重要な条件が，「とある数学的対象（数論的直線束と呼ばれるもの）の次数をそのまま計算しても，通信を通して宇宙の壁を越えてから計算してもさほど変わらない」ということであり，これがIUTの主定理が言いたいことのようです．

数論的直線束そのものは少し難しそうですが，おそらく数論的直線束の簡単版として，整数環のイデアルの例が載っているので，まずはそちらから見てみようと思います．